本文包含三角函数所有基本知识

函数 ( y = \sin(\omega t) ) 的导数推导

问题：求函数 ( y = \sin(\omega t) ) 的导数，其中 (\omega) 是常数，( t ) 是自变量。

推导过程：

1. 应用链式法则：
   设中间变量 ( u = \omega t )，则原函数可表示为复合函数：
   [
   y = \sin(u), \quad u = \omega t
   ]

2. 分步求导：

   • 外层函数（正弦函数）的导数：
     [
     \frac{dy}{du} = \cos(u)
     ]
   • 内层函数（线性函数）的导数：
     [
     \frac{du}{dt} = \omega
     ]

3. 链式法则组合：
   [
   \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dt} = \cos(u) \cdot \omega
   ]

4. 代回原变量：
   将 ( u = \omega t ) 代入结果：
   [
   \frac{dy}{dt} = \omega \cos(\omega t)
   ]

最终结果：
[
\boxed{\dfrac{d}{dt}\left(\sin(\omega t)\right) = \omega \cos(\omega t)}
]

关键说明

• 链式法则：适用于复合函数求导，公式为 (\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dt})。
• 物理意义：若 ( t ) 代表时间，该结果表示简谐振动的瞬时速度（振幅为 ( \omega ) 的余弦波）。
• 验证：当 ( \omega = 1 ) 时，退化为标准正弦函数的导数 (\cos(t))，与基本公式一致。 ( ysin() )导数推导问题求函数 = \omega t 的其中 (\ 是( t是自变量推导过程1.链式：
  设中间 u = t \原函数复合 \ y =(u), u = t
  ]

分步**：
外层正弦函数导数：
[
{dy} =(u)
]
内层线性函数导数：
[
{du} =
3.式法则：
\dy}{ = \dy}{ \cdot{du} =(u) \omega ]

代变量将 ( \omega 代入：
\dy}{ = \cos()
**最终：
\boxed{d}{left(\omega t) = \cos t)}
关键- 法则复合函数，公式frac{dt}frac{du} \frac}{dt- **： ( 代表该简谐振速度（为 ( )的余弦）。
验证 ( = 时化为标准函数的导数cos(t与公式一致