用复合函数的导数运算对隐函数求导
推导过程
求 $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $ 中 $ y $ 的导数
我们有方程：
$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
$$
为了求 $ y $ 对 $ x $ 的导数，我们首先对方程两边同时求导。
第一步：隐式求导
对方程两边同时对 $ x $ 求导，注意到 $ y $ 是 $ x $ 的函数，因此在求导时应用链式法则：
$$
\frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \right) = \frac{d}{dx}(1)
$$
左边有两个项，我们逐一求导：
- 对 $ \frac{x^2}{a^2} $ 求导：
$$
\frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{a^2} \right) = \frac{2x}{a^2}
$$
2. 对 $ \frac{y^2}{b^2} $ 求导，注意到 $ y $ 是 $ x $ 的函数，所以需要用链式法则：
$$
\frac{d}{dx} \left( \frac{y^2}{b^2} \right) = \frac{2y}{b^2} \cdot \frac{dy}{dx}
$$
这里的 $ \frac{dy}{dx} $ 是我们要求的导数。
右边的常数 $ 1 $ 对 $ x $ 的导数是 $ 0 $ 。
所以我们得到：
$$
\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \cdot \frac{dy}{dx} = 0
$$
第二步：解 $ \frac{dy}{dx} $
将 $ \frac{dy}{dx} $ 作为未知数解出来：
$$
\frac{2y}{b^2} \cdot \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{a^2}
$$
两边同时除以 $ \frac{2y}{b^2} $：
$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{a^2} \cdot \frac{b^2}{2y}
$$
简化表达式：
$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{b^2 x}{a^2 y}
$$
最终结果
因此，方程 $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $ 中 $ y $ 对 $ x $ 的导数为：
$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{b^2 x}{a^2 y}
$$
关键点说明：
- 链式法则的应用：在求导 $\frac{y^2}{b^2}$ 时，将 $ y $ 视为中间变量（即 $ y $ 是 $ x $ 的函数），因此 $\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dy}(y^2) \cdot \frac{dy}{dx} = 2y \frac{dy}{dx}$。这体现了复合函数导数的核心运算。
- 假设条件：结果仅在 $ y = 0 $ 时成立（因为在分母中）。当 $ y = 0 $ 时，椭圆顶点处切线垂直，导数不存在（无穷大），这与椭圆几何性质一致。
- 一般性：此推导适用于椭圆的标准方程，结果给出了曲线上任意点的切线斜率。
