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宇宙速度

火箭飞行

火箭的速度

设某一瞬时 $ t $ ，火箭质量为 $ m $ ，速度为 $ v $ 。在其后的 $ dt $ 的时间内，火箭喷出了质量为 $ |dm| $ 的气体，气体相对于火箭的速度为 $ u $ ，使火箭的速度增加了 $ dv $ 。由于火箭不受外力，根据动量守恒定律，有：
$$ mv = (m+dm)(v+dv) + (-dm)(v+dv-u) $$
展开，略去二阶微量，得：
$$ mdv + udm =0 $$
$$ dv = -u \frac{dm}{m} $$

该式表示火箭每喷出质量为 $|dm|$ 的气体时，它的速度就增加了 $dv$ 。
两边同积分，得：

$$ \int_{v_1}^{v_2} dv = \int_{m_1}^{m_2} -u \frac{dm}{m} $$

$$ v_2 - v_1 = u ln \frac{m_1}{m_2} $$
该式表示火箭质量从 $ m_1 $ 减至 $ m_2 $ 时，火箭速度从 $v_1$ 增至 $v_2 $ 。
设火箭开始飞行时质量为 $ m_0 $ ，速度为 $0$ ；燃料燃尽时质量为 $ m $ ，速度为 $ v $ 。则有：
$$ v=uln\frac{m_0}{m} $$
$ \frac{m_0}{m} $ 称为火箭的质量比。
所以，要提高火箭速度，可以采用提高喷气速度和质量比的方法。目前世界上一般采用多级火箭来提高速度。